Convergence vers la loi normale — Visualisation interactive
Ce simulateur du théorème central limite (TCL) démontre visuellement que la distribution des moyennes d'échantillons converge vers une loi normale (gaussienne), quelle que soit la distribution de la population d'origine. Le TCL stipule que pour des échantillons de taille n suffisamment grande (généralement n ≥ 30), la moyenne d'échantillon X̄ suit approximativement une loi normale N(μ, σ²/n), où μ est l'espérance de la population et σ son écart-type. L'outil permet de choisir parmi plusieurs lois initiales : uniforme, exponentielle, binomiale, triangulaire. Vous configurez la taille d'échantillon (n) et le nombre d'échantillons à générer, puis l'algorithme calcule les moyennes et affiche l'histogramme avec superposition de la courbe normale théorique. La simulation Monte Carlo vérifie empiriquement la convergence. Applications en statistiques inférentielles, tests d'hypothèses, intervalles de confiance, contrôle qualité industriel, sondages, analyses scientifiques. Le TCL est fondamental en probabilités car il justifie l'utilisation de la loi normale dans de nombreux contextes pratiques.
Le théorème central limite (TCL) affirme que la distribution des moyennes d'échantillons de taille n tend vers une loi normale quand n augmente, indépendamment de la distribution de la population d'origine. Même si la population suit une loi uniforme, exponentielle ou autre, les moyennes des échantillons formeront une courbe en cloche (gaussienne). Pour n ≥ 30, l'approximation normale est généralement considérée comme bonne. Le TCL justifie pourquoi la loi normale est si fréquente dans la nature : beaucoup de phénomènes sont la somme ou moyenne de nombreux facteurs indépendants.
L'écart-type de la distribution des moyennes est σ[X̄] = σ / √n, où σ est l'écart-type de la population et n la taille d'échantillon. Quand n augmente, √n augmente, donc σ[X̄] diminue. Cela signifie que les moyennes d'échantillons sont moins dispersées et se concentrent davantage autour de la moyenne de la population. Par exemple, avec n = 100, l'écart-type des moyennes est divisé par 10 par rapport aux valeurs individuelles. C'est pourquoi les grandes enquêtes donnent des résultats plus précis : l'incertitude diminue avec la taille d'échantillon.